Viele physikalische Prozesse hängen sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab. Die Veränderung bezüglich jener ist jedoch nicht stets wichtig: die Bewegung eines Massenpunktes wird ca. durch Ableitungen nach der Zeit (Geschwindigkeit und Beschleunigung) beschrieben. So eine Art von Gleichung bezeichnet man gewöhnliche Differentialgleichung. Meistens reicht das jedoch nicht aus: Die Wellen, die durch einen Wassertropfen der auf eine Wasseroberfläche fällt entstehen, hängen sowohl von der Zeitableitung (Geschwindigkeit der Welle) also auch von der Raumableitung (Profil der Welle) ab. Da Ableitungen nach mehreren Variablen auftauchen, ist also eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs notwendig.

Das einfachste mögliche Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ist folgendes: Eine Funktion u(x,t) möge von 2 Variablen abhängen (z. B. von Ort x und Zeit t). Die partielle Ableitung gibt an, wie stark sich die Funktion in der Zeit ändert, analog gibt die Änderung der Funktionswerte in der Ortsvariablen an. Falls diese beiden Änderungen gleich sind, ergibt sich folgende Differentialgleichung

Eine Lösung dieser Gleichung wäre u(x,t) = f(x + t) mit einer beliebigen Funktion f.

Man kann PDGen nach verschiedenen Kriterien einteilen. Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt, bezeichnet man die Ordnung. Beispielsweise treten in einer Gleichung erster Ordnung ca. partielle erste Ableitungen auf.

Weiter kann nach Linearität eingeteilt werden. Falls die unbekannte Funktion, sowie alle auftretenden Ableitungen linear vorkommen, spricht man von einer linearen partiellen Differentialgleichung. Treten alle Ableitungen linear auf, aber die Funktion selbst nicht, spricht man von einer semilinearen Gleichung. Ansonsten spricht man von einer nichtlinearen PDE. Eine nichtlineare partielle Differentialgleichung kann man durch ausdifferenzieren stets in eine quasilineare Form überführen, in der die höchsten Ableitungen linear auftauchen.

Der einfachste Fall ist natürlich der Fall der linearen Gleichungen. Aber in dem Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen sind selbst hier formelmäßige Lösungen ca. in Ausnahmefällen möglich. Man unterscheidet weiter zwischen hyperbolischen (z.B. die Wellengleichung), parabolischen (z.B. die Wärmeleitungsgleichung) und elliptischen (z.B. die Poisson-Gleichung) Differentialgleichungen. Anschaulich betrachtet unterscheiden sich die Typen durch die Art der Ausbreitung von Störungen in der Lösung. Diese Klassifizierung ist allerdings nicht mehr eindeutig, es gibt also partielle Differentialgleichungen, die einen gemischten Charakter haben. Als Beispiel für die Einteilung in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch sei eine partielle Differentialgleichung der Ordnung 2 in 2 Variablen herangezogen:

Bei der Einteilung werden stets ca. die Koeffizienten der höchsten Ableitungen (hier 2. Ordnung) in der Gleichung betrachtet:

Wenn a(x,y)c(x,y) - b(x,y)² / 4 > 0 ist die Gleichung in (x,y) elliptisch

Wenn a(x,y)c(x,y) - b(x,y)² / 4 = 0 ist die Gleichung in (x,y) parabolisch

Wenn a(x,y)c(x,y) - b(x,y)² / 4 < 0 ist die Gleichung in (x,y) hyperbolisch

Diese Unterscheidung kann man auch darauf zurückführen, ob die Matrix (a(x,y) b(x,y)/2; b(x,y)/2 c(x,y) ) positiv definit (⇒elliptisch), singulär (⇒parabolisch), oder negativ definit (⇒hyperbolisch) ist.

Eine partielle Differentialgleichung per se hat in dem Allgemeinen mehrere Lösungen. Um eine eindeutige Lösung zu bekommen braucht es gewisse Zusatzbedingungen, nämlich Rand- und/oder Anfangsbedingungen. Diese Situation ist ähnlich wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen, wo man Anfangsbedingungen in einem Punkt braucht. Bei PDGen reicht die Vorgabe eines Funktionswertes an einem Punkt nicht aus, man muss Funktionswerte (und/oder Ableitungen) auf einer Mannigfaltigkeit vorgeben. Nicht jede Zusatzbedingung führt zu einer vernünftigen Lösung, das Ganze hängt von der Art der Gleichung ab. Typische Beispiele sind

• Dirichlet-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
• Neumann-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
• Anfangs- und Randbedingungen (bei parabolischen Probleme)
• Cauchy Probleme (bei hyperbolischen Problemen)===Elliptische partielle Differentialgleichungen ===

Diese treten typischerweise in Zusammenhang mit zeitunabhängigen (stationären) Problemen auf. Ein weiteres Kennzeichen ist, dass elliptische Gleichungen häufig einen Zusatand minimaler Energie beschreiben, also von Variationsproblemen her kommen. Das Paradebeispiel ist die Laplace-Gleichung, bzw die Poisson-Gleichung. Diese Gleichungen beschreiben etwa die (stationäre) Temperaturverteilung in einem Körper, oder auch die elektrostatische Ladungsverteilung in einem Körper. Außerdem ist das (Newtonsche) Gravitationspotential eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Bei elliptischen Gleichungen sind die am häufigsten auftretenden Randbedinungen entweder Dirichlet-Randbedingungen oder Neumann-Randbedingungen. Die erstere bedeutet, dass die Werte der gesuchten Funktion auf dem Rand vorgegeben sind, während die zweite eine Vorgabe der Normalenableitung der gesuchten Funktion ist. Am Beispiel der Temperaturverteilung soll der Unterschied klargemacht werden: Steckt man ein Objekt in Eiswasser, dann ist die Temperatur am Rand 0 Grad. Damit ist die Temperaturverteilung in dem Inneren die Lösung eines Dirichlet-Randwertproblems. Ein anderer Fall tritt auf, wenn man den Körper isoliert. Hier ist zwar nicht die Temperatur bekannt, aber durch Isolation ist der Wärmefluß am Rand 0. Da der Fluß mit der Normalableitung in Verbindung gebracht werden kann, führt dies auf ein Neumann-Problem. Ähnliches gilt in der Elektrostatik: Kennt man die Spannung die am Rand anglegt wird, kommt man zu einem Dirichlet-Problem, kennt man hingegen die Stromstärke am Rand kommt man zu einem Neumann-Problem.

Eine nichtlineare Gleichung, die elliptisch ist, ist die Gleichung für Minimalflächen (Minimal surface equation), diese beschreibt eine Seifenhaut, die sich bildet, wenn man ein Drahtgestell in Seifenlauge taucht.

Dieser Typ von Gleichungen beschreibt ähnliche Phänomene wie elliptische Gleichungen, aber in dem instationären Fall. Das bei weitem wichtigste Beispiel einer parabolischen Gleichung ist die Wärmeleitungsgleichung, die das Abkühlen und Aufheizen eines Körpers beschreibt. Diffusionsprozesse werden ebenfalls durch diese Gleichung beschreiben. Parabolische Gleichungen führen auf ein Anfangs-Randwertproblem. Beispielsweise müssen bei der Wärmeleitungsgleichung am (räumlichen) Rand des Gebietes für alle Zeiten entweder die Temperatur oder der Temperaturfluß vorgegeben werden. Dies entspricht dem Fall von Dirichlet- oder Neumannbedingungen in dem elliptischen Fall. Zusätzlich muss nicht die Temperaturverteilung am Anfang (zum Zeitpunkt 0) vorgegeben werden. Insgesamt benötigen also parabolische Gleichungen Bedingung am räumlichen Rand und zu dem Anfangszeitpunkt. Ein weiterer (nichtlinearer) Vertreter von parabolischen Gleichugngen ist die Korteweg-de-Vries -Gleichung, die Wasserwellen in Ufernähe beschreibt.

Die typische hyperbolische Gleichung ist die Wellengleichung. Allgemein werden durch diese Art von Gleichungen Wellen und deren Ausbreitung beschrieben. Außerdem sind Gleichungen erster Ordnung stets hyperbolische. In dem Unterschied zu parabolischen und elliptischen Gleichung werden Lösungen von hyperbolischen Gleichungen wenig bis gar nicht gedämpft. Das führt einerseits dazu, dass die Lösungstheorie schwieriger wird, da mit weniger Differenzierbarkeit gerechnet werden kann. Anderseits können sich Wellen erst durch diese fehlende Dämpfung über weite Strecken ausbreiten. Die zu diesem Typ gehörigen Anfangs- und Randwerte führen auf Cauchy-Probleme: Das bedeutet, dass wie in dem parabolischen Fall zusätzlich zu räumlichen Randbedingungen Anfangswerte benötigt werden. Bei hyperbolischen Gleichungen zweiter Ordnung benötigt man aber zwei Anfangswerte: Den Funktionswert und die zeitliche Ableitung desselben am Anfang. Am Beispiel einer eingespannten Saite soll dies verdeutlicht werden: Die Auslenkung der Saite erfüllt die Wellengleichung. Wenn die Saite an den Enden eingespannt ist, führt dies auf die räumlichen Randbedingungen, in diesem Fall ist die Auslenkung am Rand 0 (weil eingespannt), damit ist der Funktionswert am Rand bekannt und es ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen. (Im Fall von frei schwingenden Objekten, wie in Holzblasinstrumenten kommt man dementsprechen auf Neumannbedingungen). Zusätzlich müssen jetzt noch zwei Anfangsbedingungen vorgegeben werden: Die Auslenkung (entspricht dem Funktionswert) am Anfang, und die Geschwindigkeit mit der die Saite am Anfang angezupft wird (entspricht der zeitlichen Ableitung). Mit diesem Bedingungen kann die Auslenkung zu allen späteren Zeitpunkten eindeutig gelöst werden.=== Theorie === Wichtige Sätze

Satz von Cauchy-Kovalevskaja

Satz von Holmgren

Lemma von Lax-Milgram

Maximumsprinzip

Die meist benutzten Verfahren sind die Methode der finiten Elemente (FEM), der finiten Differenzen und der finiten Volumen.

Navier Stokes Gleichungen

Maxwell Gleichungen

Schrödingergleichung

Einsteinsche FeldgleichungenGleichungen in denen neben partiellen Ableitungen auch Integrale auftreten bezeichnet man Integro-Differentialgleichung